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部编版2020届高考数学大一轮复*第五章数列第三节等比数列教师用书理5

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第三节 等比数列

考纲要求

☆☆☆2017 考纲考题考情☆☆☆ 真题举例

命题角度

2016,全国卷Ⅲ,17,12 分(等比数列

的证明、通项公式)

1.理解等比数列的概念;

2016,全国卷Ⅰ,15,5 分(等比数列有 主要以选择题、填空题的形式考查

2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项 关最值问题)

等比数列的基本运算与简单性质。

和公式;

2015,全国卷Ⅱ,4,5 分(等比数列的 解答题往往与等差数列、数列求

3.了解等比数列与指数函数的关系。 计算)

和、不等式等问题综合考查。

2015,全国卷Ⅱ,17,12 分(等比数列

的判定、基本运算与性质)

微知识 小题练

自|主|排|查 1.等比数列的有关概念 (1)定义: ①文字语言:从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数。 ②符号语言:aan+n 1=q(n∈N*,q 为非零常数)。 (2)等比中项:如果 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。即:G 是 a 与 b 的等比中项?a,G,b 成等比数列? G2=ab。 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:an=a1qn-1。

??na1,q=1,

(2)前 n 项和公式:Sn=?a1 -qn ?? 1-q

=a11--aqnq,

q≠1。

3.等比数列的性质 (1)通项公式的推广:an=am·qn-m(m,n∈N*)。 (2)对任意的正整数 m,n,p,q,若 m+n=p+q,则 am·an=ap·aq。 特别地,若 m+n=2p,则 am·an=a2p。 (3)若等比数列前 n 项和为 Sn,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 仍成等比数列,即(S2m-Sm)2=Sm(S3m -S2m)(m∈N*,公比 q≠-1)。

-1-

(4)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p 是常数)也是等比数列。 (5)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an,an+k,an+2k,an+3k,… 为等比数列,公比为 qk。

微点提醒

1.等比数列的概念的理解

(1)等比数列中各项及公比都不能为零。 (2)由 an+1=qan(q≠0),并不能断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0。 (3)等比数列中奇数项的符号相同,偶数项的符号相同。

2.等比数列{an}的单调性

(1)满足?????aq1>>10,

或?????a01<<q0<,1

时,{an}是递增数列。

(2)满足?????a01<>q0<,1

或?????aq1><10,

时,{an}是递减数列。

(3)当???a1≠0, ??q=1

时,{an}为常数列。

(4)当 q<0 时,{an}为摆动数列。

小|题|快|练

一 、走进教材

1.(必修 5P68B 组 T1(1)改编)等比数列{an}各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2

+…+log3a10=( )

A.12

B.10

C.8

D.2+log35

【解析】 ∵a4a7=a5a6,∴a5a6=9,又 log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=

log3(a5a6)5=log395=10。故选 B。

【答案】 B

2.(必修 5P62B 组 T2 改编)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若SS63=12,则SS93=________。 【解析】 S3,S6-S3,S9-S6 成等比数列,则(S6-S3)2=S3·(S9-S6),由SS63=12知 S6=12S3, 则14S23=S3·(S9-S6),所以 S9=34S3,所以SS93=34。
3 【答案】 4

-2-

二、双基查验

1.等比数列{an}中,a4=4,则 a2·a6 等于( ) A.4

B.8

C.16

D.32

【解析】 a2·a6=a24=16。故选 C。 【答案】 C

2.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7=( )

A.64

B.81

C.128

D.243

【解析】 q=aa21+ +aa32=2, 故 a1+a1q=3? a1=1,a7=1×27-1=64。故选 A。 【答案】 A

3.(2016·四川高考)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入。若该公司 2015

年全年投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公

司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( )

(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)

A.2018 年

B.2019 年

C.2020 年

D.2021 年

【解析】 根据题意,知每年投入的研发资金增长的百分率相同,所以,从 2015 年起,

每年投入的研发资金组成一个等比数列{an},其中,首项 a1=130,公比 q=1+12%=1.12,

所以 an=130×

1.12n - 1 。 由

130×1.12n-1>200,两边 同时取对 数,得

n



1> lg2l- g1.lg112.3





lg2-lg1.3 lg1.12

≈0.300- .005.11=3.8,则 n>4.8,即 a5 开始超过 200,所以 2019 年投入的研发资金开始超过 200

万元。故选 B。

【答案】 B

4.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=________。 【解析】 ∵S3+3S2=0, ∴a1+a2+a3+3(a1+a2)=0, ∴a1(4+4q+q2)=0。 ∵a1≠0,∴q=-2。 【答案】 -2

5.若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e5,则 lna1+lna2+…+lna20=

-3-

________。 【解析】 解法一:各项均为正数的等比数列{an}中 a10a11=a9a12=…=a1a20, 则 a1a20=e5, lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a20)10=lne50=50。 解法二:各项均为正数的等比数列{an}中 a10a11=a9a12=…=a1a20, 则 a1a20=e5, 设 lna1+lna2+…+lna20=S, 则 lna20+lna19+…+lna1=S, 2S=20ln(a1a20)=100,S=50。 【答案】 50
微考点 大课堂

考点一

等比数列的基本运算

【典例 1】 {an}为等比数列,求下列各值。 (1)已知 a3+a6=36,a4+a7=18,an=12,求 n;

(2)已知 a2·a8=36,a3+a7=15,求公比 q;

(3)已知 q=- 2,S8=15(1- 2),求 a1。 【解析】 (1)解法一:

∵???a4+a7=a3·q+a6·q=q a3+a6 =18, ??a3+a6=36,

∴q=12。

又∵a3+a6=a3(1+q3)=36,∴a3=32。 ∵an=a3·qn-3=32·???12???n-3=28-n=12=2-1, ∴8-n=-1,即 n=9。 解法二:∵a4+a7=a1·q3(1+q3)=18 且 a3+a6=a1·q2·(1+q3)=36, ∴q=12,a1=128。

又∵an=a1·qn-1=27·???12???n-1=28-n=12=2-1,

-4-

∴8-n=-1,即 n=9。 (2)∵a2·a8=a3·a7=36 且 a3+a7=15, ∴a3=3,a7=12 或 a3=12,a7=3。

∵q4=4 或 q4=14,∴q=±

2或

q=±

2 2。

(3)∵S8=a1[1-1+-2 2

8]=a1 - 1+ 2

=15(1- 2),

∴a1=-(1- 2)·(1+ 2)=1。

【答案】

(1)9

(2)±

2或±

2 2

(3)1

反思归纳 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,解决这类问题的关键

在于熟练掌握等比数列的有关公式,并能灵活运用,尤其需要注意的是,在使用等比数列的

前 n 项和公式时,应根据公比的取值情况进行分类讨论,此外在运算过程中,还应善于运用

整体代换思想简化运算。

【变式训练】 (1)(2016·武汉调研)若等比数列{an}的各项均为正数,a1+2a2=3,a23=

4a2a6,则 a4=( )

A.38

B.254

C.136

D.196

(2)(2016·海口调研)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,a2-8a5=0,则SS84的值为(

)

A.12

B.1176

C.2 【解析】 (1)由题意,得

D.17

?? a1+2a1q=3, ? a1q2 2=4a1q ??q>0,

a1q5 ,

??a1=32, 解得???q=21,

所以 a4=a1q3=32×???12???3=136。故选 C。 (2)∵a2-8a5=0,∴aa52=q3=18,∴q=12。 ∴SS84=aa51+ +aa62+ +aa73+ +aa84+1

-5-

=???12???4

a1+a2+a3+a4 a1+a2+a3+a4

17 +1=16。故选 B。

【答案】 (1)C (2)B

考点二

等比数列的判定与证明…………母题发散

【典例 2】 (1)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( ) A.a1,a3,a9 成等比数列 B.a2,a3,a6 成等比数列 C.a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列 (2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*),若 bn=an+1-2an,求证: {bn}是等比数列。 【解析】 (1)由等比数列的性质得,a3·a9=a26≠0,因此 a3,a6,a9 一定成等比数列,故 选 D。

(2)证明:∵an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an,

∴bbn+n 1=aan+n+2-1-22aan+n 1=

an+a1-n+41-an2a-n 2an+1=2aann++11--24aann=2。

∵S2=a1+a2=4a1+2,∴a2=5。∴b1=a2-2a1=3。 ∴数列{bn}是首项为 3,公比为 2 的等比数列。

【答案】 (1)D (2)见解析

【母题变式】 1.在本典例(2)的条件下,求{an}的通项公式。 【解析】 由(2)知 bn=an+1-2an=3·2n-1, 所以a2nn+ +11-a2nn=34,

故???a2nn???是首项为12,公差为34的等差数列。 所以a2nn=12+(n-1)·34=3n- 4 1,

所以 an=(3n-1)·2n-2。 【答案】 an=(3n-1)·2n-2 2.在本典例(2)中,若 cn=3na-n 1,证明:{cn}为等比数列。

【证明】 由[变式 1]知,an=(3n-1)·2n-2, ∴cn=2n-2。 ∴ccn+n 1=22nn--21=2。

-6-

又 c1=3×a11-1=12,

∴数列{cn}是首项为12,公比为 2 的等比数列。

反思归纳 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法,其他方法只用于选择

题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列

即可。

(2)利用递推关系时要注意对 n=1 时的情况进行验证。

【拓展变式】 (2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=1+λ an,其中 λ ≠0。 (1)证明:{an}是等比数列,并求其通项公式; (2)若 S5=3312,求 λ 。

【解析】 (1)由题意得 a1=S1=1+λ a1,故 λ ≠1,a1=1-1λ ,a1≠0。

由 Sn=1+λ an,Sn+1=1+λ an+1 得 an+1=λ an+1-λ an, 即 an+1(λ -1)=λ an。由 a1≠0,λ ≠0 且 λ ≠1 得 an≠0, 所以aan+n 1=λ λ-1。

因此{an}是首项为1-1λ

,公比为 λ

λ-1的等比数列,于是

an=1-1λ ???λ λ-1???n-1。

(2)由(1)得 Sn=1-???λ λ-1???n。由 S5=3321得 1-???λ λ-1???5=3321,即???λ λ-1???5=312。

解得 λ =-1。

【答案】 (1){an}是首项为1-1λ ,公比为λ λ-1的等比数列,an=1-1λ ???λ λ-1???n-1 (2)λ

=-1

考点三

等比数列的性质应用

【典例 3】 (1)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 log2a10 等于 ()

A.4

B.5

C.6

D.7

(2)各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2,S3n=14,则 S4n 等于( )

A.80

B.30

C.26

D.16

-7-

【解析】 (1)∵a3·a11=16,∴a27=16。 又∵等比数列{an}的各项都是正数,∴a7=4。 又∵a10=a7q3=4×23=25,∴log2a10=5。故选 B。 (2)设 S2n=a,S4n=b,由等比数列的性质知: 2(14-a)=(a-2)2,解得 a=6 或 a=-4(舍去), 同理(6-2)(b-14)=(14-6)2,所以 b=S4n=30。故选 B。 【答案】 (1)B (2)B

反思归纳 等比数列性质的应用可以分为三类:(1)通项公式的变形;(2)等比中项的变

形;(3)前 n 项和公式的变形。根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决

问题的突破口。

【变式训练】 (1)已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 的四个根组成以12为首项的等比

数列,则mn=(

)

3

32

A.2

B.2或3

C.23

D.以上都不对

(2)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4=3,S12-S8=12,则 S8=__________。 【解析】 (1)设 a,b,c,d 是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 的四个根,不妨设 a<c<d<b,

则 a·b=c·d=2,a=12,故 b=4,根据等比数列的性质,得到 c=1,d=2,则 m=a+b=92,

n=c+d=3,或 m=c+d=3,n=a+b=92,则mn=32或mn=23。故选 B。

(2)由 S4,S8-S4,S12-S8 成等比数列,得(S8-S4)2=S4(S12-S8),解得 S8=9 或 S8=-3, 又由等比数列的前 n 项和公式知 S8 与 S4 同号,故 S8=9。
【答案】 (1)B (2)9

微考场 新提升

1.在等比数列{an}中,若 a1<0,a2=18,a4=8,则公比 q 等于( )

A.32

B.23

C.-23

D.23或-23

-8-

解析 解法一:由?????aa11qq= 3=188,,

??a1=27, 解得???q=23

??a1=-27, 或???q=-23。

又 a1<0,因此 q=-23。故选 C。

解法二:由已知得aa42=aa11qq3=q2=188=49,即 q2=49,又因为 a1<0,a2=18>0,所以 q=aa21<0,

所以 q=-23。故选 C。

答案 C

2.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不

为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”其大意为:

“有一个人走了 378 里路,第一天健步行走,第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,

走了 6 天后到达目的地”则该人最后一天走的路程为( )

A.24 里

B.12 里

C.6 里

D.3 里

解析 记每天走的路程里数为{an},易知{an}是公比 q=12的等比数列,S6=378。又 S6=

a1???1-1216???=378,所以 a1=192,所以 a6=192×215=6,故选 C。
1-2

答案 C 3.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前 n 项和等于 ________。

解析

??a1+a1q3=9, ???a21·q3=8,

? a1=1,q=2,

所以 Sn=11--22n=2n-1。

答案 2n-1

4.(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2…an 的最大值为

________。

解析 设{an}的公比为 q,由 a1+a3=10,a2+a4=5 得 a1=8,q=12,则 a2=4,a3=2,a4

-9-

=1,a5=12,所以 a1a2…an≤a1a2a3a4=64。

答案 64

5.(2016·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为 3 的等差数列,数列{bn}满足 b1=1,b2=13,anbn

+1+bn+1=nbn。 (1)求{an}的通项公式; (2)求{bn}的前 n 项和。 解析 (1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得 a1=2。

所以数列{an}是首项为 2,公差为 3 的等差数列,通项公式为 an=3n-1。

(2)由(1)知

anbn+1+bn+1=nbn,得

bn+1=b3n,因此数列{bn}是首项为

1 1,公比为3的等比数列。

记{bn}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=1-???131???n=32-2×13n-1。 1-3

答案 (1)an=3n-1 (2)Sn=32-2×13n-1

- 10 -




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