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2019届高考数学大一轮复*第五章数列第三节等比数列教师用书理

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Say goodbye to any meat, enjoy fruit a nd vegetables! 2019 届高考数学大一轮复*第五章数列第三节等比数列教师 用书理 ☆☆☆2017 考纲考题考情☆☆☆ 考纲要求 真题举例 2016,全国卷Ⅲ,17,12 分(等比数列 的证明、通项公式) 1.理解等比数列的概念; 2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项 和公式; 3.了解等比数列与指数函数的关系。 2016,全国卷Ⅰ,15,5 分(等比数列有 关最值问题) 2015,全国卷Ⅱ,4,5 分(等比数列的 计算) 2015,全国卷Ⅱ,17,12 分(等比数列 的判定、基本运算与性质) 微知识 小题练 主要以选择题、填空题的形式考查 等比数列的基本运算与简单性质。 解答题往往与等差数列、数列求 和、不等式等问题综合考查。 命题角度 自|主|排|查 1.等比数列的有关概念 (1)定义: ①文字语言: 从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比都等于同一个 常数。 ②符号语言:=q(n∈N*,q 为非零常数)。 (2)等比中项:如果 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等 比中项。即:G 是 a 与 b 的等比中项?a,G,b 成等比数列? G2=ab。 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:an=a1qn-1。 sinAsinC <cosAcosC, 得 cosAcosC -sinAsinC>0 ,即 cos (A +C)> 0 - 1 - / 12 Say goodbye to any meat, enjoy fruit a nd vegetables! (2)前 n 项和公式:Sn=q≠1。 3.等比数列的性质 (1)通项公式的推广:an=am·qn-m(m,n∈N*)。 (2)对任意的正整数 m, n, p, q, 若 m+n=p+q, 则 am·an=ap·aq。 特别地,若 m+n=2p,则 am·an=a。 (3)若等比数列前 n 项和为 Sn,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 仍成等 比数列,即(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)(m∈N*,公比 q≠-1)。 (4)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p 是常数)也是等比 数列。 (5)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列, 即 an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为 qk。 微点提醒 1.等比数列的概念的理解 (1)等比数列中各项及公比都不能为零。 (2)由 an+1=qan(q≠0),并不能断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0。 (3)等比数列中奇数项的符号相同,偶数项的符号相同。 2.等比数列{an}的单调性 (1)满足或时,{an}是递增数列。 (2)满足或时,{an}是递减数列。 (3)当时,{an}为常数列。 (4)当 q<0 时,{an}为摆动数列。 小|题|快|练 一 、走进教材 1. (必修 5P68B 组 T1(1)改编)等比数列{an}各项均为正数, 且 a5a6 sinAsinC <cosAcosC, 得 cosAcosC -sinAsinC>0 ,即 cos (A +C)> 0 - 2 - / 12 Say goodbye to any meat, enjoy fruit a nd vegetables! +a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…+log3a10=( A.12 B.10 C.8 D.2+log35 【解析】∵a4a7=a5a6,∴a5a6=9,又 log3a1+log3a2+…+ ) log3a10=log3(a1a2…a10)=log3(a5a6)5=log395=10。故选 B。 【答案】 B 2. (必修 5P62B 组 T2 改编)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若=, 则=________。 【解析】 S3, S6-S3, S9-S6 成等比数列, 则(S6-S3)2=S3·(S9 -S6),由=知 S6=S3,则 S=S3·(S9-S6),所以 S9=S3,所以=。 【答案】4 二、双基查验 1.等比数列{an}中,a4=4,则 a2·a6 等于( A.4 C.16 B.8 D.32 ) 3 【解析】a2·a6=a=16。故选 C。 【答案】 C 2. 已知等比数列{an}满足 a1+a2=3, a2+a3=6, 则 a7=( ) A.64 B.81 C.128 D.243 【解析】q==2, 故 a1+a1q=3? a1=1,a7=1×27-1=64。故选 A。 【答案】 A 3.(2016·四川高考)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金 投入。若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元,在此基础上,每 sinAsinC <cosAcosC, 得 cosAcosC -sinAsinC>0 ,即 cos (A +C)> 0 - 3 - / 12 Say goodbye to any meat, enjoy fruit a nd vegetables! 年投入的研发资金比上一年增长 12%, 则该公司全年投入的研发资金开 始超过 200 万元的年份是( (参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30) A.2018 年 B.2019 年 C.2020 年 D.2021 年 【解析】 根据题意,知每年投入的研发资金增长的百分率相同, 所以,从 2015 年起,每年投入的研发资金组成一个等比数列{an},其 中,首项 a1=130,公比 q=1+12%=1.12,所以 an=130×1.12n-1。 由 130×1.12n-1>200,两边同时取对数,得 n-1>,又≈=3.8,则 n>4.8, 即 a5 开始超过 200, 所以 2019 年投入的研发资金开始超过 200 万元。故选 B。 【答案】 B



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