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2014-2015年福建省泉州市晋江市季延中学高二(上)期中数学试卷和答案(理科)

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2014-2015 学年福建省泉州市晋江市季延中学高二(上)期中数 学试卷(理科) 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)若命题 p:2 是偶数,命题 q:2 是 3 的约数,则下列结论中正确的是 ( ) A.“p∨q”为假 B.“p∨q”为真 C.“p∧q”为真 D.以上都不对 2. (5 分)抛物线 y=ax2 的准线方程为 y+2=0,则实数 a 的值为( A. B. C.8 D.﹣8 ) 3. (5 分)如图,在*行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 = , = , = .则下列向量中与 相等的向量是( ) A. B. C. D. 4. (5 分)*面内有两定点 A、B 及动点 P,设命题甲:“|PA|+|PB|是定值”,命 题乙:“点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆”,则甲是乙的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ) ) 5. (5 分)下列命题为真命题的是( A.若 p∨q 为真命题,则 p∧q 为真命题 B.“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件 C.命题“若 x<﹣1,则 x2﹣2x﹣3>0”的否命题为“若 x<﹣1,则 x2﹣2x﹣3≤0” D.已知命题 p:? x∈R,使得 x2+x﹣1<0,¬p:? x∈R,使得 x2+x﹣1>0 6. (5 分)设*面 α 的法向量为(1,2,﹣2) ,*面 β 的法向量为(﹣2,﹣4, k) ,若 α∥β,则 k=( ) 第 1 页(共 17 页) A.2 B.﹣4 C.4 D.﹣2 = + + , 7. (5 分)若 A,B,C 不共线,对于空间任意一点 O 都有 则 P,A,B,C 四点( A.不共面 B.共面 ) C.共线 D.不共线 8. (5 分)如图,在*行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面是边长为 1 的正方形, 若∠A1AB=∠A1AD=60°,且 A1A=3,则 A1C 的长为( ) A. B. C. D. ,则 cos< , > 9. (5 分)空间四边形 OABC 中,OB=OC,∠AOB=∠AOC= 的值是( A. B. ) C.﹣ D.0 10. (5 分)已知直线 l1:4x﹣3y+6=0 和直线 l2:x=﹣1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( A. B.2 C. D.3 ) 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)命题“若 x2<1,则﹣1<x<1”的逆否命题是 12 . ( 5 分)与双曲线 为 . . =1 有共同的焦点,且离心率 e= 的双曲线方程 13. (5 分)若椭圆两焦点为 F1(﹣4,0) ,F2(4,0)点 P 在椭圆上,且△PF1F2 的面积的最大值为 12,则此椭圆的方程是 14. (5 分)已知向量 在基底{ { }下的坐标为 . . }下的坐标为(2,1,﹣1) ,则 在基底 第 2 页(共 17 页) 15. (5 分)设 F1,F2 为椭圆 的焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的 直线与椭圆交于 A,B 两点,若△ABF2 为锐角三角形,则该椭圆离心率 e 的取值 范围是 . 三、解答题(12+12+12+12+13+14=75 分,写出必要的解题过程) 16. (12 分)抛物线 y2=8x 的焦点是 F,倾斜角为 45°的直线 l 与抛物线相交于 A, B 两点,|AB|=8 ,求直线 l 的方程. 17. (12 分)判断命题“已知 a,x 为实数,若关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2 ≤0 的解集非空,则 a≥1”的逆否命题的真假,并证明. 18. (12 分)如图,四面体 ABCD 中,AB、BC、BD 两两垂直,AB=BC=BD=4,E、 F 分别为棱 BC、AD 的中点. (1)求异面直线 AB 与 EF 所成角的余弦值; (2)求 E 到*面 ACD 的距离; (3)求 EF 与*面 ACD 所成角的正弦值. 19. (12 分)已知 P 为椭圆 OP 上,且 (Ⅰ)求点 M 的轨迹方程; =1 上的任意一点,O 为坐标原点,M 在线段 (Ⅱ)已知直线 3x+6y﹣2=0 与 M 的轨迹相交于 A,B 两点,求△OAB 的面积. 20. (13 分)如图,已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1, AB⊥AC,M,N 分别是 CC1,BC 的中点,点 P 在直线 A1B1 上,且 (Ⅰ)证明:无论 λ 取何值,总有 AM⊥PN; 第 3 页(共 17 页) ; (Ⅱ)当 λ 取何值时,直线 PN 与*面 ABC 所成的角 θ 最大?并求该角取最大值 时的正切值; (Ⅲ)是否存在点 P,使得*面 PMN 与*面 ABC 所成的二面角为 30°,若存在, 试确定点 P 的位置,若不存在,请说明理由. 21. (14 分)已知定点 F(0,1)和直线 l1:y=﹣1,过定点 F 与直线 l1 相切的动 圆圆心为点 C. (1)求动点 C 的轨迹方程; (2) 过点 F 的直线 l2 交动点 C 的轨迹于两点 P、 Q, 交直线 l1 于点 R, 求 最小值; (3)过点 F 且与 l2 垂直的直线 l3 交动点 C 的轨迹于两点 R、T,问四边形 PRQT 的面积是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由. ? 的 第 4 页(共 17 页) 2014-2015 学年福建省泉州市晋江市季延中学高二(上) 期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)若命题 p:2 是偶数,命题 q:2 是 3 的约数,则下列结论中正确的是 ( )



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