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高中数学人教A版必修3第二章 2.2 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征课件

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2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
预*课本 P3~6,思考并完成以下问题
(1)如何根据样本数据的频率分布直方图,分别估计总体的 众数、中位数和*均数? (2)如何理解众数、中位数、*均数与极端数据的关系? (3)*均数向我们提供了样本数据的重要信息,*均数会使 我们作出对总体的片面判断吗? (4)方差、标准差有什么区别与联系?

[新知初探]
1.众数、中位数、*均数的概念 (1)众数:一组数据中_出__现__次__数__最__多__的数. (2)中位数:一组数据按大小顺序排列后,处于_中__间__位置 的数.如果个数是偶数,则取_中__间__两个数据的*均数. (3)*均数:一组数据的_和__除以数据个数所得到的数.

2.三种数字特征的比较

3.标准差、方差的概念与计算公式 (1)标准差: 标准差是样本数据到*均数的一种_*__均__距__离__,一般用 s 表示,s=___n1_[_?x_1_-__x__?2_+__?_x_2-___x_?_2+__…__+ __?_x_n_-__x__?2_].
(2)方差: 标准差的*方 s2 叫做方差. s2=__n1_[(_x_1_-__x_)_2_+__(x_2_-__x__)2_+__…__+__(_x_n_-__x_)_2_] , 其中,xn 是_样__本__数__据__,n 是_样__本__容__量__,x 是_样__本__*___均__数__.

[点睛] (1)标准差、方差描述了一组数据围绕*均数波动的大 小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、 方差越小,数据的离散程度越小. (2)标准差、方差的取值范围:[0,+∞). 标准差、方差为 0 时,样本各数据全相等,表明数据 没有波动幅度,数据没有离散性.

[小试身手]
1.下列说法不正确的是

()

A.方差是标准差的*方

B.标准差的大小不会超过极差

C.若一组数据的值大小相等,没有波动变化,则标准差

为0

D.标准差越大,表明各个样本数据在样本*均数周围越

集中;标准差越小,表明各个样本数据在样本*均数

周围越分散 解析:选 D 标准差越小,表明各个样本数据在样本*均

数周围越集中;标准差越大,表明各个样本数据在样本*

均数的周围越分散.

2.10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15,17,14,10,

15,17,17,16,14,12,设其*均数为 a,中位数为 b,众数为 c,

则有

()

A.a>b>c

B.b>c>a

C.c>a>b

D.c>b>a

解析:选 D 将数据从小到大排列为 10,12,14,14,15,15,16,

17,17,17,则*均数 a=110(10+12+14×2+15×2+16+

17×3)=14.7,

中位数 b=15,众数 c=17,

显然 a<b<c,选 D.

3.奥运会体操比赛的计分规则为:当评委亮分后,其成绩先去

掉一个最高分,去掉一个最低分,再计算剩下分数的*均值,

这是因为

()

A.减少计算量

B.避免故障

C.剔除异常值

D.活跃赛场气氛 解析:选 C 因为在体操比赛的评分中使用的是*均分,记

分过程中采用“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的方法,

就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对

选手的得分造成较大的影响,从而降低误差,尽量公*.

4.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3,若该样本 的*均值为 1,则样本方差为________. 解析:由题意知15(a+0+1+2+3)=1,解得 a=-1. 所以样本方差为 s2=15[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+ (2-1)2+(3-1)2]=2. 答案:2

众数、中位数、*均数的计算 [典例] 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两 群市民的年龄如下(单位:岁): 甲群:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17; 乙群:54,3,4,4,5,6,6,6,6,56. (1)甲群市民年龄的*均数、中位数和众数各是多少岁?其中 哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征? (2)乙群市民年龄的*均数、中位数和众数各是多少岁?其中 哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征?

[解] (1)甲群市民年龄的*均数为 13+13+14+15+151+015+15+16+17+17=15(岁), 中位数为 15 岁,众数为 15 岁. *均数、中位数和众数相等,因此它们都能较好地反 映甲群市民的年龄特征. (2)乙群市民年龄的*均数为 54+3+4+4+51+06+6+6+6+56=15(岁), 中位数为 6 岁,众数为 6 岁. 由于乙群市民大多数是儿童,所以中位数和众数能较 好地反映乙群市民的年龄特征,而*均数的可靠性较差.

*均数、众数、中位数的计算方法 *均数一般是根据公式来计算的;计算众数、中位数 时,可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列, 再根据各自的定义计算.

[活学活用] (广东高考)已知样本数据 x1,x2,…,xn 的均值 x =5,则

样本数据 2x1+1,2x2+1,…,2xn+1 的均值为________. 解析:由条件知 x =x1+x2+n …+xn=5,则所求均值 x 0=

2x1+1+2x2+1+…+2xn+1= n

2?x1+x2+…+xn?+n= n

2

x

+1=2×5+1=11.

答案:11

标准差(方差)的计算及应用 [典例] 甲、乙两名战士在相同条件下各打靶 10 次,每 次命中的环数分别是: 甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7; 乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)分别计算以上两组数据的*均数; (2)分别求出两组数据的方差; (3)根据计算结果,估计两名战士的射击情况.若要从这 两人中选一人参加射击比赛,选谁去合适?

[解] (1) x 甲=110×(8+6+7+8+6+5+9+10+4+7)= 7(环),
x 乙=110×(6+7+7+8+6+7+8+7+9+5)=7(环). (2)由方差公式 s2=n1[(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2], 得 s2甲=3,s乙2 =1.2. (3) x 甲= x 乙,说明甲、乙两战士的*均水*相当. 又 s2甲>s2乙,说明甲战士射击情况波动比乙大. 因此,乙战士比甲战士射击情况稳定.从成绩的稳定性考 虑,应选择乙参加比赛.

计算标准差的 5 步骤 (1)求出样本数据的*均数 x . (2) 求 出 每 个 样 本 数 据 与 样 本 * 均 数 的 差 xi- x (i = 1,2,…,n). (3)求出 xi- x (i=1,2,…,n)的*方值. (4)求出上一步中 n 个*方值的*均数,即为样本方差. (5)求出上一步中*均数的算术*方根,即为样本标准差.

[活学活用] 从甲、乙两种玉米的苗中各抽 10 株,分别测它们的株高 如下:(单位:cm) 甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42; 乙:27 16 44 27 44 16 40 40 16 40. 问:(1)哪种玉米的苗长得高? (2)哪种玉米的苗长得齐?

解:(1) x 甲=110(25+41+40+37+22+14+19+39+21 +42)=110×300=30(cm), x 乙=110(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40) =110×310=31(cm). 所以 x 甲< x 乙. 即乙种玉米苗长得高.

(2)s2甲=

1 10

[(25



30)2



(41-

30)2



(40



30)2+

(37-30)2

+ (22- 30)2 + (14- 30)2+ (19- 30)2+ (39- 30)2 + (21-

30)2



(42



30)2]



1 10(25



121



100



49



64



256



121+81+81+144)=110×1 042=104.2(cm2),

s乙2 =110[2×(27-31)2+3×(16-31)2+2×(44-31)2+3×(40

-31)2]=110×1 288=128.8(cm2). 所以 s2甲<s乙2 .

即甲种玉米苗长得齐.

数字特征的综合应用 [典例] 某校从参加高二年级学业水*测试的学生中抽出 80 名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.
(1)求这次测试数学成绩的众数; (2)求这次测试数学成绩的中位数.

[解] (1)由题图知众数为70+2 80=75. (2)由题图知,设中位数为 x,由于前三个矩形面积之 和为 0.4,第四个矩形面积为 0.3,0.3+0.4>0.5,因此中位 数位于第四个矩形内,得 0.1=0.03(x-70),所以 x≈73.3.

众数、中位数、*均数与频率分布直方图的关系

[活学活用] 为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了 20 位 工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图,则

(1)这 20 名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是 ________. (2)这 20 名工人中一天生产该产品数量的中位数为________. (3)这 20 名工人中一天生产该产品数量的*均数为________. 解析:(1)在[55,75)的人数为(0.040×10+0.025×10)×20=13. (2)设中位数为 x,则 0.2+(x-55)×0.04=0.5,x=62.5. (3)0.2×50+0.4×60+0.25×70+0.1×80+0.05×90=64. 答案:(1)13 (2)62.5 (3)64

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语语文文::初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材,,也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文,,还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材,,小小学学有有1122种种版版本本,,初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订,,和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版,,覆覆盖盖面面比比较较广广,,小小学学约约占占5500%%,,初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋,,小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材,,还还是是先先学学拼拼音音,,后后学学识识字字。。政政治治::小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本,,小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》,,改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史::初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置,,而而是是以以时时间间为为主主线线,,按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版,,你你知知道道多多少少??为为什什么么要要改改版版??跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧!!一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字,,再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的,,但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号,,在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少,,教教学学顺顺序序换换一一换换,,其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字,,就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学**中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少,,由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字,,比比如如““地地””字字,,对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生,,在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到,,电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前,,课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字,,比比如如““叉叉””字字,,结结构构比比较较简简单单,,但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中,,增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重,,减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目,,引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中,,有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事,,看看得得出出来来,,语语文文学学**越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达,,通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等,,提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育,,把把阅阅读读**惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目,,激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣,,拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担,,其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思,,可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等,,也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事,,表表达达是是不不一一样样的的,,有有人人比比较较精精炼炼,,有有人人比比较较口口语语化化,,儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同,,就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里,,新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的,,一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法,,笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则,,新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候,,就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快,,孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以,,写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音??一一位位语语文文教教研研员员说说,,孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育,,他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了,,一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字,,很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥,,学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字,,小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的,,学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说::““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文,,先先学学拼拼音音再再识识字字,,刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学,,压压力力会会比比较较大大,,很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感,,家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字,,可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学**的的快快乐乐,,消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材,,字字都都比比较较简简单单,,很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””
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