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2019届高考数学大一轮复* 第五章 数列 第三节 等比数列教师用书 理

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2019 届高考数学大一轮复* 第五章 数列 第三节 等比数列教师用书 理 考纲要求 真题举例 命题角度 2016,全国卷Ⅲ,17,12 分(等比数列 的证明、通项公式) 1.理解等比数列的概念; 2016,全国卷Ⅰ,15,5 分(等比数列有 主要以选择题、填空题的形式考查 2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项 关最值问题) 等比数列的基本运算与简单性质。 和公式; 2015,全国卷Ⅱ,4,5 分(等比数列的 解答题往往与等差数列、数列求 3.了解等比数列与指数函数的关系。 计算) 和、不等式等问题综合考查。 2015,全国卷Ⅱ,17,12 分(等比数列 的判定、基本运算与性质) 微知识 小题练 (1)定义: ①文字语言:从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数。 ②符号语言:aan+n 1=q(n∈N*,q 为非零常数)。 (2)等比中项:如果 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。即:G 是 a 与 b 的等比中项?a,G,b 成等比数列? G2=ab。 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:an=a1qn-1。 ??na1,q=1, (2)前 n 项和公式:Sn=?a1 -qn ?? 1-q =a11--aqnq, q≠1。 3.等比数列的性质 (1)通项公式的推广:an=am·qn-m(m,n∈N*)。 (2)对任意的正整数 m,n,p,q,若 m+n=p+q,则 am·an=ap·aq。 特别地,若 m+n=2p,则 am·an=a2p。 (3)若等比数列前 n 项和为 Sn,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 仍成等比数列,即(S2m-Sm)2=Sm(S3m -S2m)(m∈N*,公比 q≠-1)。 (4)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p 是常数)也是等比数列。 (5)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an,an+k,an+2k,an+3k,… 为等比数列,公比为 qk。 微点提醒 1.等比数列的概念的理解 (1)等比数列中各项及公比都不能为零。 (2)由 an+1=qan(q≠0),并不能断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0。 (3)等比数列中奇数项的符号相同,偶数项的符号相同。 2.等比数列{an}的单调性 (1)满足???a1>0, ??q>1 或???a1<0, ??0<q<1 时,{an}是递增数列。 (2)满足???a1>0, ??0<q<1 或???a1<0, ??q>1 时,{an}是递减数列。 (3)当???a1≠0, ??q=1 时,{an}为常数列。 (4)当 q<0 时,{an}为摆动数列。 小|题|快|练 一 、走进教材 1.(必修 5P68B 组 T1(1)改编)等比数列{an}各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2 +…+log3a10=( ) A.12 B.10 C.8 D.2+log35 【解析】 ∵a4a7=a5a6,∴a5a6=9,又 log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)= log3(a5a6)5=log395=10。故选 B。 【答案】 B 2.(必修 5P62B 组 T2 改编)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若SS63=12,则SS93=________。 【解析】 S3,S6-S3,S9-S6 成等比数列,则(S6-S3)2=S3·(S9-S6),由SS63=12知 S6=12S3, 则14S23=S3·(S9-S6),所以 S9=34S3,所以SS93=34。 【答案】 3 4 二、双基查验 1.等比数列{an}中,a4=4,则 a2·a6 等于( ) A.4 B.8 C.16 【解析】 a2·a6=a24=16。故选 C。 【答案】 C D.32 2.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7=( ) A.64 B.81 C.128 D.243 【解析】 q=aa21+ +aa32=2, 故 a1+a1q=3? a1=1,a7=1×27-1=64。故选 A。 【答案】 A 3.(2016·四川高考)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入。若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公 司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( ) (参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30) A.2018 年 B.2019 年 C.2020 年 D.2021 年 【解析】 根据题意,知每年投入的研发资金增长的百分率相同,所以,从 2015 年起, 每年投入的研发资金组成一个等比数列{an},其中,首项 a1=130,公比 q=1+12%=1.12, 所以 an=130× 1.12n - 1 。 由 130×1.12n-1>200,两边 同时取对 数,得 n - 1> lg2l- g1.lg112.3 , 又 lg2-lg1.3 lg1.12 0.30-0.11 ≈ 0.05 =3.8,则 n>4.8,即 a5 开始超过 200,所以 2019 年投入的研发资金开始超过 200 万元。故选 B。 【答案】 B 4.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=________。 【解析】 ∵S3+3S2=0, ∴a1+a2+a3+3(a1+a2)=0, ∴a1(4+4q+q2)=0。 ∵a1≠0,∴q=-2。 【答案】 -2 5.若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e5,则 lna1+lna2+…+l



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